Справочник › Инвестиции › Портфельная теория › Эффективная граница и минимальное стандартное отклонение портфеля

Эффективная граница и минимальное стандартное отклонение портфеля

●Два актива: риски $20\%$ и $10\%$, корреляция $0{,}3$. Какой наименьший риск достижим их комбинацией? Можно ли опуститься ниже $10\%$ — минимума среди активов? Да: оптимальный портфель даёт $\sigma_{\min} \approx 9{,}79\%$ — чуть ниже $10\%$. Это и есть «выгода диверсификации», измеренная в числах.

Эффективная граница двух активов — изогнутая кривая в осях $(\sigma, E[R])$. Её левая вершина (самый низкий риск) — портфель минимальной дисперсии с весами $w_1^*$. При $\rho < 1$ эта вершина лежит левее обоих исходных активов: риск меньше, чем у любого актива по отдельности. При $\rho = 1$ вершины нет — граница вырождается в прямую.

$Эффективная граница двух активов: кривая в осях ($\sigma_p$, $E[R_p]$). Левая вершина (портфель мин. дисперсии) отмечена$

Эффективная граница двух активов: кривая в осях ($\sigma_p$, $E[R_p]$). Левая вершина (портфель мин. дисперсии) отмечена. Показаны активы A и B как точки на кривой при $w_1 = 1$ и $w_1 = 0$.

✍️ Разберём на числах

$\sigma_1 = 20$, $\sigma_2 = 10$, $\rho = 0{,}3$. $\text{Cov} = 60$; $w_1^* = 40/380 \approx 0{,}10526$; $w_2^* \approx 0{,}89474$. $V_{\min} = 0{,}10526^2 \cdot 400 + 0{,}89474^2 \cdot 100 + 2 \cdot 0{,}10526 \cdot 0{,}89474 \cdot 60$ $\approx 4{,}433 + 80{,}055 + 11{,}305 \approx 95{,}793$. $\sigma_{\min} = \sqrt{95{,}793} \approx 9{,}78721\%$.

📐 Формула

$w_1^* = (\sigma_2^2 - \rho\sigma_1\sigma_2)/(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\rho\sigma_1\sigma_2)$; $\sigma_{\min} = \sqrt{V(w_1^*)}$. Ответ в \%.

→Портфельная теория на этом не заканчивается: добавив безрисковый актив, получим линию рынка капитала (CML) и рыночный портфель — это CAPM, следующая пачка темы 4.3.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →