●Сколько брать с клиента 40 лет за пожизненную страховку на \(100\,000\) ₽? Платит он ежегодно, пока жив; страховая платит один раз — когда он умрёт. Оба момента случайны. Как «свести» случайные потоки в одну справедливую цену?
Финансовый принцип «PV доходов = PV расходов» переносим на случай со случайными сроками: берём математическое ожидание приведённых стоимостей обеих сторон. Так будущие платежи взвешиваются и дисконтом \(v^t\), и вероятностью дожить \({}_t p_x\).
✍️ Разберём на числах
Нетто-уравнение пожизненной страховки: \(P \cdot \ddot{a}_x = S \cdot A_x\). Возьмём \(x = 40\), \(S = 100\,000\) ₽, \(i = 4\%\). По Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ \(A_{40} = 0{,}249\), \(\ddot{a}_{40} = 19{,}51\). Тогда \(P = S \cdot A_x / \ddot{a}_x = 100\,000 \cdot 0{,}249 / 19{,}51 \approx 1\,276\) ₽ в год. (Проверено python: \(0{,}249/19{,}51 \cdot 10^5 = 1276{,}3\).)
📐 Формула
\(E[PV(\text{премий})] = E[PV(\text{выплат}) + PV(\text{расходов})]\); нетто-форма \(P \cdot \ddot{a}_x = S \cdot A_x\). \(v = 1/(1+i)\) — дисконт; ожидание учитывает \({}_t p_x\) и \(\mu_{x+t}\) (либо \(q_{x+t}\)). Отсюда — нетто-премия, брутто-премия и резервы.