Принцип эквивалентности
●Клиент 40 лет хочет пожизненную страховку на \(100\,000\) ₽. Он будет платить нам понемногу каждый год, пока жив; мы выплатим всю сумму один раз — когда он умрёт. Какую цифру вписать в договор, чтобы не разориться и не отпугнуть клиента? Ответ даёт принцип эквивалентности.
Представьте весы. На одной чаше — всё, что втечёт к нам: ожидаемая приведённая стоимость премий \(P\cdot\ddot a_x\). На другой — всё, что вытечет: ожидаемая стоимость выплат \(S\cdot A_x\). Справедливая премия — та, при которой весы ровно в балансе. Слишком низкая — чаша выплат перевесит (убыток); слишком высокая — клиент переплачивает.
Рисуем две чаши-столбика: слева EPV премий \(P\cdot\ddot a_x\), справа EPV выплат \(S\cdot A_x\). Двигаем слайдер премии \(P\): пока \(P\) мала — левый столбик ниже (премий не хватает), при \(P = S\cdot A_x/\ddot a_x\) столбики выравниваются — «БАЛАНС». Второй слайдер — возраст \(x\): старше клиент — выше \(A_x\) и выше балансовая премия. Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
Уравнение баланса \(P\cdot\ddot a_x = S\cdot A_x\). Возьмём \(x = 40\), \(S = 100\,000\) ₽, \(i = 4\%\). По Актуарным иллюстративным таблицам (ЦБ РФ 2016): \(A_{40} = 0{,}249\), \(\ddot a_{40} = 19{,}51\). Отсюда \(P = S\cdot A_x/\ddot a_x = 100\,000\cdot 0{,}249/19{,}51 \approx 1\,276\) ₽/год. Проверка баланса: чаша выплат \(S\cdot A_{40} = 24\,900\) ₽, чаша премий \(P\cdot\ddot a_{40} = 1\,276\cdot 19{,}51 \approx 24\,900\) ₽ — сходится. (Число проверено python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\(EPV(\text{премий}) = EPV(\text{выплат})\); нетто-форма \(P\cdot\ddot a_x = S\cdot A_x\), отсюда \(P = S\,A_x/\ddot a_x\). Эквивалентно \(E[L_0] = 0\), где \(L_0\) — будущий убыток страховщика. Баланс — в среднем по портфелю, не на каждом отдельном полисе.