●У страховщика портфель из \(1000\) одинаковых полисов. Сколько денег он закладывает на смертность в этом году — ещё до того, как кто-то умрёт? Не «на глаз»: компания заранее считает ожидаемую нагрузку. Берёт сумму под риском одного полиса, прикидывает, сколько человек статистически умрёт, и перемножает. Это и есть \(EDS\) — бюджет потерь.
Одна смерть стоит компании \(DSAR = S - {}_{t+1}V\). Из \(N\) полисов за год ожидается не всё \(N\), а лишь доля \(q_{x+t}\) — то есть \(N\cdot q_{x+t}\) смертей. Умножаем нагрузку одной смерти на ожидаемое число смертей: \(EDS_t = N\cdot q_{x+t}\cdot(S - {}_{t+1}V)\). Это «средний прогноз» — то, что лягло бы на компанию, веди себя смертность ровно по таблице.
✍️ Разберём на числах
\(EDS_t = N\cdot q_{x+t}\cdot(S - {}_{t+1}V)\). Возьмём \(N = 1000\) полисов, \(S = 100\,000\) ₽, резерв \({}_{t+1}V = 20\,000\) ₽, вероятность смерти \(q_{x+t} = 0{,}008\). Сумма под риском: \(DSAR = 100\,000 - 20\,000 = 80\,000\) ₽. Ожидаемое число смертей: \(1000\cdot 0{,}008 = 8\). Тогда \(EDS = 8\cdot 80\,000 = 640\,000\) ₽ — столько компания ожидает потерять на смертности за год. (Числа проверены python.)
📐 Формула
\(EDS_t = N\cdot q_{x+t}\cdot DSAR_t = N\cdot q_{x+t}\cdot(S - {}_{t+1}V)\), где \(N\) — число действующих полисов в начале года, \(q_{x+t}\) — вероятность смерти за год, \(DSAR_t = S - {}_{t+1}V\) — сумма под риском на полис. \(EDS\) — ожидаемая, «по таблице», нагрузка от смертности.