●Принцип эквивалентности дал нам нетто-премию — ровно под выплаты. Но продай мы полис по этой цене, и компания прогорит: никто не учёл комиссию агенту, оформление договора, ежегодную рассылку, расходы на саму выплату. Куда всё это вставить? Сначала надо расходы рассортировать.
Расходы делят не по сумме, а по моменту, когда они возникают, — потому что каждый момент дисконтируется и взвешивается вероятностью по-своему. Три корзины: начальные (один раз, при оформлении), возобновительные (каждый год, пока полис жив), выплатные (один раз, в момент выплаты). У каждой корзины — свой множитель в уравнении.
✍️ Разберём на числах
Соберём EPV расходов: \(EPV(\text{расходы}) = I + e\cdot\ddot a_x + E_c\cdot A_x\). Начальные \(I\) берутся «как есть» (момент 0, дисконт 1). Возобновительные \(e\) идут потоком, пока человек жив, — значит множитель \(\ddot a_x\) (как у премий). Выплатные \(E_c\) возникают тогда же, когда выплата, — значит множитель \(A_x\) (как у страховки). Например, оформление \(I = 500\) ₽, ведение \(e = 20\) ₽/год при \(x = 50\), \(i = 4\%\), \(\ddot a_{50} = 17{,}11\): EPV возобновительных \(= 20\cdot 17{,}11 \approx 342\) ₽. (Число проверено python по таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(EPV(\text{расходы}) = I + e\cdot\ddot a_x + E_c\cdot A_x\). \(I\) — initial (момент 0: комиссия, оформление); \(e\) — renewal (₽/год, множитель \(\ddot a_x\)); \(E_c\) — claim (при выплате, множитель \(A_x\)). Комиссию часто задают долей премии \(f\cdot P^g\). Начальные обычно велики — отсюда отрицательный профит первого года в profit-testing.