Справочник › Финансовая математика › Начисление процентов p раз в год › Сила процента $\delta$ — концепция

Сила процента $\delta$ — концепция

●Банк начисляет проценты раз в год — понятно. Раз в месяц — чаще. Каждую секунду — непрерывно. Есть ли предел этого процесса?

Когда $p \to \infty$, номинальная ставка $i^{(p)}$ не стремится к бесконечности — она сходится к конечному пределу $\delta = \ln(1+i)$. Это «скорость» роста капитала в каждый момент времени. Более частое начисление не увеличивает прирост неограниченно: конкурирующие эффекты (меньший шаг, больше шагов) уравновешиваются.

$Таблица с двумя колонками: $p$ (1, 2, 4, 12, 365, $\infty$) и $i^{(p)}$ при $i=10\%$. Стрелкой показать, что строка $p=\$

Таблица с двумя колонками: $p$ (1, 2, 4, 12, 365, $\infty$) и $i^{(p)}$ при $i=10\%$. Стрелкой показать, что строка $p=\infty$ — это $\delta$. Рядом — числовая ось, на которой отмечены $d < \delta < i$ для $i=10\%$.

✍️ Разберём на числах

При $i = 10\%$: $i^{(2)} \approx 9{,}762\%$, $i^{(4)} \approx 9{,}645\%$, $i^{(12)} \approx 9{,}569\%$, $i^{(365)} \approx 9{,}533\%$, $\delta = \ln(1{,}10) \approx 9{,}531\%$. Последовательность убывает и сходится к $\delta$.

📐 Формула

\[\delta = \lim_{p \to \infty} i^{(p)} = \ln(1+i)\]

$i^{(p)}$ — номинальная ставка при $p$ начислениях, $i$ — эффективная годовая ставка, $\delta$ — сила процента (force of interest).

→Сила процента — не просто предел формулы. При переменном $\delta(t)$ накопление записывается через интеграл $e^{\int_0^n \delta(t)\,dt}$, что удобно для сложных моделей. Следующий шаг — формула $\delta = \ln(1+i)$ и численный расчёт.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Сила процента \(\delta\) — концепция