Справочник › Теория вероятностей › Дискретные распределения › Гипергеометрическое распределение
Гипергеометрическое распределение
●58 соискателей, из них 30 с нужной квалификацией. Выбираем 5 случайно. Какова вероятность, что никто из выбранных не имеет квалификации? Это классическая задача, и решается она гипергеометрическим распределением.
Число способов выбрать \(x\) успехов из \(k\): \(\binom{k}{x}\). Число способов выбрать оставшиеся \(n-x\) из \(N-k\) неудач: \(\binom{N-k}{n-x}\). Число способов выбрать любые \(n\) из \(N\): \(\binom{N}{n}\). Делим: вероятность ровно \(x\) успехов.
✍️ Разберём на числах
\(N=58\), \(k=30\), \(n=5\), \(x=0\): \(P(X=0) = \frac{\binom{30}{0}\binom{28}{5}}{\binom{58}{5}} = 0{,}0214\).
Биномиальное приближение: \(P(X=0) \approx (28/58)^5 \approx 0{,}0262\).
📐 Формула
\[P(X=x) = \frac{\binom{k}{x}\binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}},\quad
E[X] = \frac{nk}{N},\quad Var[X] = \frac{nk(N-k)(N-n)}{N^2(N-1)}.\]
→При \(N \to \infty\), \(k/N \to p\) гипергеометрическое → Бином\((n,p)\).
Поправка \((N-n)/(N-1) \to 1\) при больших \(N\).
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →