Справочник › Теория риска › Модели риска и суммарный иск › Моменты модели индивидуального риска

Моменты модели индивидуального риска

●Портфель из двух групп полисов: дорогие (100 тыс. руб.) с малой вероятностью иска 0,5% и дешёвые (50 тыс. руб.) с вероятностью 1%. Сколько «риска» несёт каждая группа? Задача — вычислить $\mathrm{Var}[S]$ и увидеть, чей вклад больше.

Каждый полис $i$ — это независимая «монетка»: с вероятностью $q_i$ «выпадает» иск на сумму $b_i$. Дисперсия каждой «монетки» — это $b_i^2 \cdot q_i \cdot (1 - q_i)$. Так как полисы независимы, дисперсии просто складываются. Итоговый $\mathrm{Var}[S]$ — мера разброса суммарных выплат вокруг ожидаемого $E[S]$.

$Столбчатая диаграмма: вклад каждой группы в $E[S]$ и $\mathrm{Var}[S]$; видно, что крупные суммы доминируют по дисперсии$

Столбчатая диаграмма: вклад каждой группы в $E[S]$ и $\mathrm{Var}[S]$; видно, что крупные суммы доминируют по дисперсии.

✍️ Разберём на числах

$b_1 = 100$, $q_1 = 0{,}005$; $b_2 = 50$, $q_2 = 0{,}01$. $E[S] = 100 \cdot 0{,}005 + 50 \cdot 0{,}01 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}0$ тыс. руб. $\mathrm{Var}[S] = 100^2 \cdot 0{,}005 \cdot 0{,}995 + 50^2 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}99$ $= 10000 \cdot 0{,}004975 + 2500 \cdot 0{,}0099 = 49{,}75 + 24{,}75 = 74{,}50\ (\text{тыс. руб.})^2$. Несмотря на одинаковый вклад в $E[S]$, группа 1 даёт вдвое большую дисперсию (крупная страховая сумма $b_1^2$ в 4 раза больше $b_2^2$).

📐 Формула

\[E[S] = \sum_{i=1}^{n} b_i q_i\]

\[\mathrm{Var}[S] = \sum_{i=1}^{n} b_i^2\, q_i(1 - q_i)\]

$b_i$ — страховая сумма (claim amount), $q_i$ — вероятность иска (claim probability), $n$ — число полисов (фиксировано). Русск.: математическое ожидание, дисперсия суммарного иска.

→Мы умеем считать моменты в индивидуальной модели. Но что если полисов миллион и пополисный учёт невозможен? Следующий атом — коллективная модель, где число исков само становится случайной величиной.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →