Инфляция исков
●Страховщик подогнал \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) к искам 2023 года: средний иск 50 000 ₽. Наступил 2024-й — инфляция в отрасли 8%. Все иски стали пропорционально больше. Нужно ли переподгонять модель заново? Нет! Достаточно умножить среднее на \((1+k)\). Но как это влияет на форму распределения и его параметры?
Если все иски выросли в \((1+k)\) раз (то есть \(Y = (1+k) \cdot X\)), то это масштабирование, а не сдвиг. Среднее умножается на \((1+k)\), квантили — тоже на \((1+k)\), дисперсия — на \((1+k)^2\). Форма распределения не меняется: LogN остаётся LogN, Exp остаётся Exp — меняется только масштабный параметр.
Две кривые плотности: синяя (до инфляции) и красная (после). Кривая «растянута» вправо — весь график сдвигается к большим значениям, форма остаётся той же.
✍️ Разберём на числах
Дано: средний иск \(E[X] = 50\,000\) ₽, инфляция \(k = 8\%\). Новое среднее: \(E[Y] = (1 + 0.08) \cdot 50\,000 = 1.08 \cdot 50\,000 = 54\,000\) ₽. Для Exp: новый \(\hat{\lambda} = 1/54\,000 \approx 0.0000185\) вместо \(1/50\,000 = 0.000020\). Для \(\mathrm{LogN}(\mu, \sigma^2)\): новый \(\hat{\mu} = \mu + \ln(1.08)\), \(\sigma^2\) не изменяется. Для \(\mathrm{Pareto}(\alpha, \theta)\): \(\theta\) умножается на \((1+k)\), \(\alpha\) не изменяется.
📐 Формула
Здесь: \(k\) — темп инфляции (inflation rate), \(X\) — исходный иск, \(Y\) — новый иск. Для LogN: \(\mu_Y = \mu_X + \ln(1+k)\), \(\sigma^2_Y = \sigma^2_X\). Для Exp: \(\lambda_Y = \lambda_X / (1+k)\). Все квантили: \(x_p^{(Y)} = (1+k) \cdot x_p^{(X)}\).