Справочник › Теория вероятностей › Предельные теоремы (ЗБЧ, ЦПТ) › Закон больших чисел (ЗБЧ) и дисперсия выборочного среднего

Закон больших чисел (ЗБЧ) и дисперсия выборочного среднего

●Страховщик хочет оценить среднюю выплату по полису. Чем больше полисов в выборке, тем точнее оценка. Как именно растёт точность с ростом n? Ответ — в законе больших чисел: дисперсия выборочного среднего равна $\sigma^2/n$ и убывает к нулю.

Выборочное среднее $\bar{X}$ — это сумма n независимых слагаемых, делённая на n. Дисперсия суммы n независимых одинаковых слагаемых $= n \cdot \sigma^2$. Делим на $n^2$ (деление на $n^2$ при масштабировании $1/n$): $Var[\bar{X}] = n \cdot \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$. При $n=100$ разброс вчетверо меньше, чем при $n=25$.

$График $Var[\bar{X}]=\sigma^2/n$ как функция n: гиперболически убывает к нулю. Видно, что удвоение n вдвое уменьшает дис$

График $Var[\bar{X}]=\sigma^2/n$ как функция n: гиперболически убывает к нулю. Видно, что удвоение n вдвое уменьшает дисперсию.

✍️ Разберём на числах

$X$ с $Var[X]=4$, $n=50$. $Var[\bar{X}] = 4/50 = 0{,}08$. По неравенству Чебышёва: $P(|\bar{X}-\mu| \geq 0{,}5) \leq 0{,}08/0{,}25 = 0{,}32$.

📐 Формула

\[Var[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n}, \qquad P(|\bar{X}-\mu| \geq \varepsilon) \leq \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}.\]

→Точная дисперсия $\bar{X} = \sigma^2/n$ используется в ЦПТ: $\bar{X} \div N(\mu, \sigma^2/n)$ при большом n. Это мост между ЗБЧ и нормальной аппроксимацией.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →