Справочник › Теория риска › Байесовский подход › Функция потерь и байесовская оценка

Функция потерь и байесовская оценка

●У вас есть апостериорное распределение — распределение $\lambda$ после данных. Нужна одна точечная оценка. Какую взять? Ответ зависит от того, как вы «штрафуете» за ошибку — это и есть выбор функции потерь.

Представьте актуария, который оценивает убыток. Если ошибка в 100 тыс. руб. «больнее вдвойне», чем ошибка в 50 тыс. — это квадратичная потеря. Если ошибки на ±100 тыс. одинаково плохи — это абсолютная потеря. При 0-1 потере важна только точность попадания: любой промах одинаково плох.

$Схема: ось $x$ — значения $\lambda$, нарисован скошенный posterior. Три вертикальные линии — мода, медиана и среднее — п$

Схема: ось $x$ — значения $\lambda$, нарисован скошенный posterior. Три вертикальные линии — мода, медиана и среднее — подписаны соответственно «MAP», «медиана», «$E[\lambda \mid x]$». Для симметричного posterior они совпадают.

✍️ Разберём на числах

Posterior $p(\lambda \mid x)$ — несимметричная кривая. Квадратичная потеря $(\hat\theta-\theta)^2 \to$ оценка $= E[\lambda \mid x]$ (среднее). Абсолютная потеря $|\hat\theta-\theta| \to$ оценка $=$ медиана posterior. 0-1 потеря $\to$ оценка $=$ мода posterior (MAP).

📐 Формула

Байесовская оценка минимизирует ожидаемую потерю по posterior:

\[\hat\theta = \arg\min_{\hat\theta}\,E_{\theta\mid x}\left[L(\hat\theta, \theta)\right].\]

Таблица: квадратичная $\to E[\theta \mid x]$; абсолютная $\to$ медиана; 0-1 $\to$ мода (MAP). MAP (Maximum A Posteriori) — мода апостериорного распределения.

→В большинстве актуарных задач используют квадратичную потерю: оценка — апостериорное среднее. Как именно его вычислять для пары Gamma/Poisson — следующий атом про вывод апостериорного распределения.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →