MLE для экспоненциального распределения
●Страховщик накопил 200 исков по ОСАГО за квартал. Средний иск — 45 000 ₽. Аналитик предполагает, что суммы исков подчиняются показательному закону. Вопрос: какова «скорость убывания» этого распределения, то есть параметр \(\lambda\)? Именно это и находит метод максимального правдоподобия (MLE).
MLE отвечает на вопрос: «при каком значении \(\lambda\) наши данные наиболее вероятны?» Мы пишем функцию правдоподобия — произведение плотностей по всем наблюдениям — и находим \(\lambda\), при котором это произведение максимально. Для \(\mathrm{Exp}(\lambda)\) ответ получается простым: \(\lambda = 1/\text{среднее}\). Больше никакой итерации.
Гистограмма реальных исков (синие столбцы) + кривая \(\mathrm{Exp}(\hat{\lambda})\) (красная линия): видно, как MLE-плотность «облегает» данные наилучшим образом.
✍️ Разберём на числах
Дано: \(n = 200\) исков, выборочное среднее \(\bar{X} = 45\,000\) ₽. Лог-правдоподобие: \(\ell(\lambda) = n\ln\lambda - \lambda\sum X_i\). Производная: \(d\ell/d\lambda = n/\lambda - \sum X_i = 0 \implies \hat{\lambda} = n / \sum X_i = 1 / \bar{X}\). Подставляем: \(\hat{\lambda} = 1/45\,000 \approx 0.000022\) (1/₽). Смысл: вероятность иска, превышающего \(t\) рублей, равна \(e^{-\hat{\lambda} t}\).
📐 Формула
Здесь: \(\bar{X}\) — выборочное среднее (sample mean), \(n\) — объём выборки, \(\lambda\) — параметр интенсивности (rate) Exp-распределения (рус. «лямбда»). Дисперсия оценки: \(\mathrm{Var}[\hat{\lambda}] \approx \lambda^2 / n\) — уменьшается с ростом \(n\).