Справочник › Финансовая математика › Начисление процентов p раз в год › Номинальная процентная ставка $i^{(p)}$

Номинальная процентная ставка $i^{(p)}$

●Банк говорит «10% годовых с ежемесячным начислением». Это не то же самое, что 10% эффективных — реальная годовая прибыль будет меньше 10%.

Номинальная ставка $i^{(p)}$ — это «вывеска», разбитая на $p$ равных частей $i^{(p)}/p$. Каждый подпериод счёт растёт на множитель $(1 + i^{(p)}/p)$. Чтобы за год получился тот же множитель $(1+i)$, нужно $i^{(p)} < i$: частые начисления компенсируют меньший шаг.

$График $i^{(p)}$ как функция $p$ при фиксированном $i = 10\%$: кривая убывает от $i^{(1)} = 10\%$ и стремится к $\delta$

График $i^{(p)}$ как функция $p$ при фиксированном $i = 10\%$: кривая убывает от $i^{(1)} = 10\%$ и стремится к $\delta \approx 9{,}53\%$ снизу; отмечены точки $p=2$, $p=4$, $p=12$ и предел $\delta$.

✍️ Разберём на числах

Эффективная ставка $i = 10\% = 0{,}10$, $p = 12$ (ежемесячно). $i^{(12)} = 12 \cdot \left((1{,}10)^{1/12} - 1\right) = 12 \cdot (1{,}007974 - 1) \approx 0{,}095690 = 9{,}569\%$. Проверка: $(1 + 0{,}095690/12)^{12} = (1{,}007974)^{12} \approx 1{,}10$ — верно.

📐 Формула

\[i^{(p)} = p \cdot \left((1+i)^{1/p} - 1\right)\]

$i$ — эффективная годовая ставка (доля), $p$ — число начислений в году, $i^{(p)}$ — номинальная годовая ставка (доля).

→Обратная задача — из $i^{(p)}$ найти $i$: $(1 + i^{(p)}/p)^p = 1 + i$. При $p \to \infty$ номинальная ставка стремится к силе процента $\delta = \ln(1+i)$ — следующая тема урока.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Номинальная процентная ставка \(i^{(p)}\)