Справочник › Теория вероятностей › Непрерывные распределения › Нормальное распределение $N(\mu,\,\sigma^2)$

Нормальное распределение $N(\mu,\,\sigma^2)$

●Рост студентов. Средний — 170 см, СКО — 8 см. Какова доля студентов ниже 175 см? Нормальное распределение отвечает на этот вопрос.

Нормальное распределение — симметричное «колокол» с центром в $\mu$ и шириной $\sigma$. 68% значений — в $[\mu-\sigma,\ \mu+\sigma]$; 95% — в $[\mu-2\sigma,\ \mu+2\sigma]$; 99,7% — в $[\mu-3\sigma,\ \mu+3\sigma]$.

$Слева — кривая плотности $N(\mu,\sigma^2)$, закрашенная область $P(X \leq x)$. Справа — кривая стандартного нормального$

Слева — кривая плотности $N(\mu,\sigma^2)$, закрашенная область $P(X \leq x)$. Справа — кривая стандартного нормального $N(0,1)$ с отмеченным $z$.

✍️ Разберём на числах

$X \sim N(170, 64)$ ($\sigma^2=64$, $\sigma=8$). Нужно $P(X \leq 175)$.

Шаг 1 — стандартизация: $z = (175-170)/8 = 5/8 = 0{,}625$.

Шаг 2 — $\Phi(z)$: $P(X \leq 175) = \Phi(0{,}625) = 0{,}5(1+\mathrm{erf}(0{,}625/\sqrt{2})) = 0{,}5(1+\mathrm{erf}(0{,}4419)) \approx 0{,}7340$.

📐 Формула

\[P(X \leq x) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right), \quad \Phi(z) = \frac{1}{2}\!\left(1+\mathrm{erf}\!\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right).\]

→Нормальное — базовый кирпичик: логнормальное $=\exp(\text{нормальное})$; $\chi^2(1) = Z^2$; $t(\nu) = Z/\sqrt{\chi^2(\nu)/\nu}$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →

Нормальное распределение \(N(\mu,\,\sigma^2)\)