Справочник › Теория риска › Credibility и Бюльман › Доверие в модели Нормаль/Нормаль

Доверие в модели Нормаль/Нормаль

●Размер среднего убытка по страхователю неизвестен, но prior на него — нормальный: $\mu \sim N(\mu_0, \sigma_0^2)$. Наблюдаем $n$ лет убытков, тоже нормально распределённых. Байесовский результат — апостериорное среднее — снова имеет вид credibility-премии.

В модели Нормаль/Нормаль отношение $\sigma^2/\sigma_0^2$ играет роль «эквивалентного числа лет prior». Если prior очень узкий ($\sigma_0^2$ мало) — компания уверена в своей оценке $\mu_0$, и $\sigma^2/\sigma_0^2$ велико $\to Z = n/(n + \sigma^2/\sigma_0^2)$ мало $\to$ оценка ближе к $\mu_0$. Если prior широкий ($\sigma_0^2$ велико) — компания неуверена $\to Z$ растёт $\to$ оцениваем ближе к $\bar{X}$. Логика та же, что в Пуассон/Гамма, но «эквивалентное число лет» $= \sigma^2/\sigma_0^2$.

$Две панели: (а) $Z$ как функция $n$ при разных $\sigma^2/\sigma_0^2$ — несколько кривых; (б) премия $P$ как функция $Z$$

Две панели: (а) $Z$ как функция $n$ при разных $\sigma^2/\sigma_0^2$ — несколько кривых; (б) премия $P$ как функция $Z$ при фиксированных $\bar{X}$ и $\mu_0$ — прямая от $\mu_0$ до $\bar{X}$.

✍️ Разберём на числах

$\mu_0 = 10$, $\sigma_0^2 = 4$, $\sigma^2 = 16$, $n = 5$, $\bar{X} = 12$. $\sigma^2/\sigma_0^2 = 16/4 = 4$. $Z = 5/(5+4) = 5/9 \approx 0{,}5556$. $E[\mu\mid\text{data}] = 0{,}5556\cdot12 + 0{,}4444\cdot10 = 6{,}667 + 4{,}444 = 11{,}11$. Проверка: между $\mu_0 = 10$ и $\bar{X} = 12$, ближе к $\bar{X}$ ($Z > 0{,}5$).

📐 Формула

\[Z = \frac{n}{n + \sigma^2/\sigma_0^2},\qquad E[\mu\mid x] = Z\,\bar X + (1-Z)\,\mu_0.\]

$\sigma^2$ — дисперсия наблюдений (observation variance); $\sigma_0^2$ — дисперсия prior (prior variance); $\mu_0$ — prior mean; $Z$ — credibility factor; $\sigma^2/\sigma_0^2$ — «эквивалентное число лет prior». Частая ошибка: перевернуть отношение ($\sigma_0^2/\sigma^2$ вместо $\sigma^2/\sigma_0^2$).

→Пуассон/Гамма $\to Z = n/(n+\beta)$; Нормаль/Нормаль $\to Z = n/(n+\sigma^2/\sigma_0^2)$. Оба частных случая одного принципа Бюльмана. Когда prior неизвестен вовсе — на помощь приходит эмпирическая байесова теория (EBCT). Сравниваем в следующем атоме.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →