Справочник › Теория риска › Панджер и аппроксимации › Рекурсия Пейнджера (класс (a, b, 0))

Рекурсия Пейнджера (класс (a, b, 0))

●Число исков — случайное. Каждый иск — случайный. Нам нужна вся таблица вероятностей $P(S=0)$, $P(S=1)$, $P(S=2)$, … Считать отдельно каждую свёртку долго и мучительно. Рекурсия Пейнджера делает это за один проход сверху вниз.

Представьте, что вы строите лестницу: первая ступенька — $P(S=0) = e^{-\lambda}$, это вероятность «ни одного иска». Каждая следующая ступенька опирается только на предыдущие — рекурсия говорит: чтобы получить сумму $s$, нужно взять сумму $s-1$ и добавить иск размером 1, или взять сумму $s-2$ и добавить иск размером 2, и т. д. Для Poisson вес каждого такого шага равен $\lambda x/s$.

$Столбики — $P(S=s)$ для $s=0,1,\ldots,8$ при $\lambda=1{,}5$. Видно, как вероятность сначала нарастает, достигает пика и$

Столбики — $P(S=s)$ для $s=0,1,\ldots,8$ при $\lambda=1{,}5$. Видно, как вероятность сначала нарастает, достигает пика и затем убывает.

✍️ Разберём на числах

Дано: $N \sim \mathrm{Poisson}(\lambda = 1{,}5)$, иски $X$: $P(X=1)=0{,}5$; $P(X=2)=0{,}3$; $P(X=3)=0{,}2$. Найти $P(S = 2)$.

Шаг 0: $P(S=0) = e^{-1{,}5} \approx 0{,}223130$.

Шаг 1: $P(S=1) = (1{,}5/1) \cdot [1 \cdot 0{,}5 \cdot P(S=0)] = 1{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}223130 \approx 0{,}167348$.

Шаг 2: $P(S=2) = (1{,}5/2) \cdot [1 \cdot 0{,}5 \cdot P(S=1) + 2 \cdot 0{,}3 \cdot P(S=0)]$ $= 0{,}75 \cdot [0{,}5 \cdot 0{,}167348 + 0{,}6 \cdot 0{,}223130] = 0{,}75 \cdot [0{,}083674 + 0{,}133878] \approx 0{,}163163$.

📐 Формула

Класс $(a, b, 0)$: $p_k/p_{k-1} = a + b/k$, $k \geq 1$. Для $\mathrm{Poisson}(\lambda)$: $a = 0$, $b = \lambda$. Рекурсия (при $p_X(0)=0$):

\[P(S=0) = G_N(0) = e^{-\lambda} \quad (\text{для Poisson})\]

\[P(S=s) = \frac{1}{s} \sum_{x=1}^{s} (as + bx) \, p_X(x) \, P(S=s-x), \quad s \geq 1.\]

Здесь $G_N$ — производящая функция, $p_X(x) = P(X=x)$ — распределение иска. Англ.: Panjer recursion / (a,b,0) class.

→Рекурсия Пейнджера даёт точное дискретное распределение $S$. Но что делать, когда иски непрерывны или нужна быстрая оценка хвоста? На помощь приходит нормальная аппроксимация — следующий атом урока.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →