Справочник › Финансовая математика › Непрерывные и бесконечные потоки платежей › Бессрочная рента (perpetuity)

Бессрочная рента (perpetuity)

●Благотворительный фонд хочет выплачивать 10 000 ₽ каждый год вечно. Сколько денег нужно положить на счёт под 5% годовых прямо сейчас? Ответ — 200 000 ₽. Это и есть вечная рента.

Вечная рента — бесконечный поток платежей, но его PV конечна: каждый следующий платёж дисконтируется сильнее и сильнее. Сумма бесконечного убывающего геометрического ряда сходится. При $i = 5\%$ весь поток «стоит» ровно 20 годовых платежей — дальние платежи почти ничего не добавляют.

$Частичные суммы $$\sum_{k=1}^{n} v^k$$ для $i = 5\%$: кривая быстро стремится к горизонтальной асимптоте $1/i = 20$, наг$

Частичные суммы $\sum_{k=1}^{n} v^k$ для $i = 5\%$: кривая быстро стремится к горизонтальной асимптоте $1/i = 20$, наглядно показывая сходимость ряда.

✍️ Разберём на числах

$X = 10\,000$ ₽, $i = 5\% = 0{,}05$. $PV = X / i = 10\,000 / 0{,}05 = 200\,000$ ₽. Проверка: $200\,000 \cdot 0{,}05 = 10\,000$ — процент на вклад в точности покрывает ежегодный платёж. Капитал не расходуется.

📐 Формула

\[a_{\overline{\infty}|i} = \frac{X}{i}\]

$X$ — ежегодный платёж (₽), $i$ — годовая эффективная ставка (доля), $a_{\overline{\infty}|i}$ — приведённая стоимость вечной ренты постнумерандо.

→Вечная рента — предельный случай конечной: $a_{\overline{n}|i} = (1-v^n)/i$ при $n \to \infty$ даёт $1/i$. Следующий шаг — p-срочная вечная рента, где платежи поступают $p$ раз в год и знаменатель меняется на $i^{(p)}$.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →