Справочник › Теория вероятностей › Производящие функции и свёртки › Производящая функция вероятностей (ПФВ / PGF)

Производящая функция вероятностей (ПФВ / PGF)

●Страховщик знает: число иcков в месяц $\sim \mathrm{Poi}(\lambda)$. Как найти среднее через PGF?

PGF $G_X(z) = E[z^X]$ — «кодирует» вероятности $P(X=k)$ как коэффициенты степенного ряда. Производная в $z=1$ «достаёт» среднее: $G'(1) = E[X]$.

$График $G_X(z)$ для $\mathrm{Poi}(\lambda)$: кривая от $z=0$ до $z=2$. Касательная в $z=1$ имеет наклон $\lambda$.$

График $G_X(z)$ для $\mathrm{Poi}(\lambda)$: кривая от $z=0$ до $z=2$. Касательная в $z=1$ имеет наклон $\lambda$.

✍️ Разберём на числах

$G_X(z) = e^{\lambda(z-1)}$. $G'(z) = \lambda \cdot e^{\lambda(z-1)}$. $G'(1) = \lambda \cdot e^0 = \lambda$. $E[X] = \lambda$.

📐 Формула

$G'_X(1) = E[X]$ для любой ПФВ. Для Пуассона: $G'_X(1) = \lambda$.

→PGF используется в рекурсии Панжера (Глава 3) для составных распределений.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.