●В страховой компании применяют байесовскую модель: частота ДТП у водителя — пуассоновская, а неизвестная интенсивность \(\lambda\) имеет гамма-prior. После нескольких лет наблюдений надо вычислить, насколько сильно данный водитель «переубедил» prior. Мера — фактор \(Z\).
В гамма-prior \(\mathrm{Gamma}(\alpha, \beta)\) параметр \(\beta\) играет роль «эквивалентного числа лет» априорной уверенности. Если \(\beta = 6\) — это как будто у prior есть 6 лет собственного опыта. При \(n = 6\) личных лет наблюдений силы равны: \(Z = 6/(6+6) = 0{,}5\). Больше \(n \to Z \to 1\). Важно: в формулу входит \(\beta\) (rate), а НЕ \(\alpha\) (shape).
✍️ Разберём на числах
Prior: \(\mathrm{Gamma}(\alpha = 2, \beta = 4)\). Водитель наблюдался \(n = 8\) лет. \(Z = 8/(8 + 4) = 8/12 \approx 0{,}6667\). Интерпретация: 2/3 веса — личный опыт водителя, 1/3 — prior \(\mathrm{Gamma}(2, 4)\). Типичная ошибка: использовать \(\alpha\) вместо \(\beta \to Z = 8/(8+2) = 0{,}8\) (неверно).
📐 Формула
\(n\) — число лет наблюдений (exposure); \(\beta\) — параметр rate гамма-prior (Gamma rate parameter), не форма \(\alpha\) (shape); \(Z\) — credibility factor (Бюльман-Штраубовский эквивалент); prior mean \(\mu = \alpha/\beta\).