Справочник › Теория риска › Credibility и Бюльман › Credibility-премия в модели Пуассона/Гамма

Credibility-премия в модели Пуассона/Гамма

●Двое водителей, обоим по одному ДТП в год ($\bar{X} = 1{,}0$). Один ездит 3 года, другой — 10 лет. Должна ли страховая компания назначить им одинаковую премию? Нет — и модель Пуассон/Гамма объясняет почему.

Когда оба показывают одинаковую частоту $\bar{X}$, разница в premium определяется не $\bar{X}$, а длиной истории $n$ через фактор $Z = n/(n+\beta)$. Длинная история «переубеждает» prior сильнее: $Z$ растёт, $P$ тянется к $\bar{X}$. Короткая история: $Z$ мало, $P$ тянется к $\mu$. Prior mean $\mu = \alpha/\beta$ — «голос компании», $\bar{X}$ — «голос клиента».

$Таблица: две строки (А и Б). Столбцы: $n$, $Z$, $P$. Стрелки от $\mu$ ($= 0{,}4$) к $\bar{X}$ ($= 1{,}0$), точки $P_А =$

Таблица: две строки (А и Б). Столбцы: $n$, $Z$, $P$. Стрелки от $\mu$ ($= 0{,}4$) к $\bar{X}$ ($= 1{,}0$), точки $P_А = 0{,}625$ и $P_Б = 0{,}800$ отмечены как позиции на этом отрезке. Видно, что $P_Б$ ближе к $\bar{X}$.

✍️ Разберём на числах

Prior: $\mathrm{Gamma}(2, 5)$, $\mu = 2/5 = 0{,}4$. $\bar{X}_А = \bar{X}_Б = 1{,}0$. $Z_А = 3/(3+5) = 0{,}375$; $P_А = 0{,}375\cdot1{,}0 + 0{,}625\cdot0{,}4 = 0{,}625$. $Z_Б = 10/(10+5) = 0{,}667$; $P_Б = 0{,}667\cdot1{,}0 + 0{,}333\cdot0{,}4 = 0{,}800$. При той же частоте ДТП у Б премия выше — потому что его история длиннее и от неё «труднее отмахнуться».

📐 Формула

Prior mean: $\mu = \alpha/\beta$. Credibility factor: $Z = n/(n+\beta)$.

\[P = Z\,\bar X + (1-Z)\,\mu.\]

Posterior mean (байесовская): $E[\lambda\mid\text{data}] = (\alpha + \Sigma x)/(\beta + n)$ — совпадает с $P$ в credibility-форме. Ключ: при равном $\bar{X}$ большее $n \to$ больший $Z \to P$ ближе к $\bar{X}$.

→Модель Пуассон/Гамма — самая популярная пара для частот исков. Для убытков (непрерывных данных) используют пару Нормаль/Нормаль — там $Z$ выводится иначе, через отношение дисперсий. Следующий атом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →