Справочник › Теория вероятностей › Байес и сопряжённые семейства › Байесовское обновление: Gamma–Poisson

Байесовское обновление: Gamma–Poisson

●Страховщик знает: «в среднем 0.5 ДТП/год на водителя» (prior $\mathrm{Gamma}(1,2)$). Конкретный водитель за 3 года сделал 3 ДТП. Оценка: 1.0 ДТП/год. Правда — 1.0? Или это случайный всплеск?

Байес «сглаживает» к группе. Posterior mean 0.8 — между 0.5 (группа) и 1.0 (личный опыт). Чем больше n, тем больше доверяем личному опыту.

$Prior $\mathrm{Gamma}(\alpha,\beta)$ и posterior $\mathrm{Gamma}(\alpha+\sum x,\ \beta+n)$ на одной оси $\lambda$. Poste$

Prior $\mathrm{Gamma}(\alpha,\beta)$ и posterior $\mathrm{Gamma}(\alpha+\sum x,\ \beta+n)$ на одной оси $\lambda$. Posterior уже (меньше неопределённости) и сдвинут к выборочной средней.

✍️ Разберём на числах

Posterior: $\mathrm{Gamma}(1+3,\ 2+3) = \mathrm{Gamma}(4,\ 5)$. Posterior mean $= 4/5 = 0.8$. Prior mean $= 1/2 = 0.5$. Sample mean $= 3/3 = 1.0$.

При $n=30$, $\sum x=30$: Posterior: $\mathrm{Gamma}(31,\ 32)$. Posterior mean $= 31/32 \approx 0.969 \approx$ sample mean. После 30 лет данных prior почти не влияет.

📐 Формула

Posterior: $\mathrm{Gamma}(\alpha+\sum x,\ \beta+n)$. Posterior mean $= (\alpha+\sum x)/(\beta+n)$. $E[\lambda] = \alpha/\beta$ — ВСЕГДА alpha/beta (rate!), не alpha·beta.

→Posterior mean Gamma-Poisson = credibility-оценка частоты исков (Глава 3). Атом conjugate-prior — общий принцип; posterior-beta-binomial — аналог для p.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →