●Зеркальный риск к срочной страховке: 1 ₽ выплачивается через \(n\) лет, но ТОЛЬКО если застрахованный доживёт. Умер раньше — премия сгорает. Сколько стоит такое «пари на дожитие»? Это \({}_nE_x\).
Выплата одна и в фиксированный момент \(n\), поэтому дисконт простой — \(v^n\). Но получить её можно лишь дожив, значит домножаем на вероятность дожития \({}_np_x\). Две вещи: дисконтировать деньги и взвесить на шанс дожить.
✍️ Разберём на числах
\(x = 50\), \(n = 10\), \(i = 4\%\). Вероятность дожития \({}_{10}p_{50} = l_{60}/l_{50} = 86\,316/92\,316 = 0{,}93501\). Дисконт \(v^{10} = 1{,}04^{-10} = 0{,}67556\). Тогда \({}_{10}E_{50} = v^{10}\cdot{}_{10}p_{50} = 0{,}67556 \cdot 0{,}93501 \approx 0{,}63166\). (Все числа проверены python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\({}_nE_x = A_{x:\overset{1}{\overline{n}|}} = v^n\,{}_np_x = v^n\,l_{x+n}/l_x = D_{x+n}/D_x\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_np_x = l_{x+n}/l_x\), \(D_x = v^x l_x\). Смерть до \(x+n\) — выплаты нет, без возврата премии.