Рекуррентная формула Тиле (reserve recursion)
●Не хочется каждый год пересчитывать резерв «с нуля» через все будущие выплаты. Есть мост: зная резерв в начале года, можно получить резерв на конец года одной строчкой. Этот мост — рекуррентная формула Тиле. Она же показывает, на что именно тратятся деньги внутри одного года: часть уходит умершим, остальное переходит выжившим.
В начале года у нас есть резерв \({}_tV\) и пришедшая премия \(P\). За год они нарастают на проценты: \(({}_tV + P)(1+i)\). Эту сумму год делит на две части. Доля \(q_{x+t}\) умерла — им платим \(S\), это отток \(q\cdot S\). Доля \(p_{x+t}\) дожила — на каждого из них нужно отложить новый резерв \({}_{t+1}V\), это \(p\cdot{}_{t+1}V\). Баланс «вошло = вышло» и есть рекурсия.
Рисуем диаграмму потока за один год: слева столбик «накопленный фонд» \(({}_tV + P)(1+i)\), справа он расщепляется на два — выплаты умершим \(q\,S\) и резерв доживших \(p\,{}_{t+1}V\). Видно, что почти всё перетекает выжившим, тонкая полоска — умершим. Слайдер — вероятность смерти \(q\): выше \(q\), шире полоска выплат и ниже резерв на конец года.
✍️ Разберём на числах
\(({}_tV + P)(1+i) = q\,S + p\,{}_{t+1}V\). Пусть \({}_tV = 20\,000\) ₽, \(P = 2\,000\) ₽, \(i = 5\%\), \(q = 0{,}008\), \(S = 100\,000\) ₽. Левая часть: \((20\,000 + 2\,000)\cdot 1{,}05 = 23\,100\) ₽. На умерших уходит \(0{,}008\cdot 100\,000 = 800\) ₽. Остаток \(23\,100 - 800 = 22\,300\) ₽ делим на долю доживших \(p = 0{,}992\): \({}_{t+1}V = 22\,300/0{,}992 \approx 22\,480\) ₽. (Числа проверены python.)
📐 Формула
\(({}_tV + P)(1+i) = q_{x+t}\,S + p_{x+t}\,{}_{t+1}V\), где \({}_tV\) — резерв в начале года, \(P\) — премия пренумерандо, \(S\) — выплата по смерти, \(p_{x+t} = 1 - q_{x+t}\). Отсюда \({}_{t+1}V = [({}_tV + P)(1+i) - q_{x+t}\,S]/p_{x+t}\). Не забывайте множитель \((1+i)\) — иначе теряется весь процентный доход за год.