●Тот же резерв можно посчитать, не заглядывая в будущее вообще. Спросим иначе: сколько денег уже накопилось на счёте этого полиса к моменту \(t\)? Собрали премии, вычли выплаты по умершим, начислили проценты, поделили на доживших. Получится ровно тот же резерв, что и «из будущего». Это ретроспективный взгляд — логика asset share.
Группа из \(l_x\) человек платит премии и получает выплаты. Накопленная стоимость премий минус накопленная стоимость выплат, наращённая на \((1+i)^t\) — это общий фонд. Делим его на долю доживших \({}_tp_x\) — получаем фонд на одного выжившего, то есть резерв. Ключевой факт: при тех же таблицах и ставке ретроспективный резерв в точности равен проспективному. Две дороги — один ответ.
✍️ Разберём на числах
\({}_tV^{retro} = \frac{(1+i)^t}{{}_tp_x}\,(P\,\ddot a_{x:\overline{t}|} - S\,A^1_{x:\overline{t}|})\). Возьмём \(S = 100\,000\) ₽, \(x = 40\), \(t = 10\), \(i = 4\%\). Нетто-премия \(P = S\,A_{40}/\ddot a_{40} \approx 1\,276\) ₽. По Актуарным иллюстративным таблицам (ЦБ РФ 2016): \(\ddot a_{40:\overline{10}|} = 8{,}33\), \(A^1_{40:\overline{10}|} = 0{,}0263\), \({}_{10}p_{40} = 0{,}967\). Считаем: \({}_{10}V^{retro} = \frac{1{,}04^{10}}{0{,}967}(1\,276\cdot 8{,}33 - 100\,000\cdot 0{,}0263) \approx 12\,250\) ₽ — практически совпадает с проспективным \(\approx 12\,300\) ₽ (мелкая разница — округления таблиц). (Числа проверены python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\({}_tV^{retro} = \frac{(1+i)^t}{{}_tp_x}\,(P\,\ddot a_{x:\overline{t}|} - S\,A^1_{x:\overline{t}|})\), где \(P\) — нетто-премия, \(\ddot a_{x:\overline{t}|}\) — временная рента пренумерандо на \(t\) лет, \(A^1_{x:\overline{t}|}\) — срочная страховка на \(t\) лет, \({}_tp_x\) — доля доживших. При одинаковых допущениях \({}_tV^{retro} = {}_tV^{pro}\).