Вероятность разорения (бесконечный горизонт)
●Вот удивительный факт: если удвоить поток исков \(\lambda\), вероятность того, что страховщик когда-нибудь разорится, не изменится. Звучит парадоксально — но для бесконечного горизонта это строгий математический факт.
При росте \(\lambda\) процесс ускоряется: за тот же промежуток приходит вдвое больше исков. Но вместе с исками пропорционально растут и поступающие премии (ведь \(c = (1+\theta)\lambda m_1\) тоже пропорционально \(\lambda\)). На бесконечном горизонте «ускоренное» и «замедленное» время дают один и тот же исход — \(\lambda\) выпадает из коэффициента \(R = \alpha\theta/(1+\theta)\) и из \(\psi(u)\).
Две кривые \(\psi(u)\) для \(\lambda = 5\) и \(\lambda = 50\) — они совпадают; подпись: «\(\lambda\) не влияет на \(\psi(u)\) при бесконечном горизонте».
✍️ Разберём на числах
Портфель с \(\lambda = 5\), \(\alpha = 0{,}02\), \(\theta = 0{,}3\): \(R = 0{,}02 \cdot 0{,}3 / 1{,}3 \approx 0{,}004615\). При \(\lambda = 50\) (тот же \(\alpha\), \(\theta\)): \(R = 0{,}02 \cdot 0{,}3 / 1{,}3 \approx 0{,}004615\). Одинаково. \(\psi(500) \leq e^{-0{,}004615 \cdot 500} = e^{-2{,}308} \approx 0{,}10\) в обоих случаях.
📐 Формула
\(\psi(u) = P(\exists t > 0: U(t) < 0 \mid U(0) = u)\) — ultimate ruin probability. \(\psi(u) \leq e^{-Ru}\) — Lundberg's inequality. Для Exp-иска: \(\psi(u) = \frac{1}{1+\theta}\, e^{-Ru}\) (точная формула). \(\lambda\) не входит в \(R = \alpha\theta/(1+\theta) \Rightarrow \lambda\) не влияет на \(\psi(u)\).