●Срочная защита, но выплата сразу в момент смерти, а не в конце года. Как объединить две идеи — «ограничить сроком \(n\)» и «платить мгновенно»? Берём интеграл, но обрываем его на \(n\).
Это \(\bar{A}_x\) с верхним пределом \(n\): интегрируем плотность \({}_t p_x\,\mu_{x+t}\) с дисконтом \(v^t\) только до момента \(n\). Всё, что после, выплат не приносит. На практике берём дискретную срочную и домножаем на UDD-поправку \(i/\delta\).
✍️ Разберём на числах
\(x = 50\), \(n = 10\), \(i = 4\%\), \(\delta = \ln 1{,}04 = 0{,}03922\). Дискретная срочная \(A^1_{50:\overline{10}|} = 0{,}05146\). Тогда \(\bar{A}^1_{50:\overline{10}|} \approx (i/\delta)\cdot 0{,}05146 = 1{,}01987 \cdot 0{,}05146 \approx 0{,}05248\). (Число \(0{,}05248\) проверено python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\(\bar{A}^1_{x:\overline{n}|} = \int_0^n v^t\,{}_t p_x\,\mu_{x+t}\,dt\), где \(v^t = e^{-\delta t}\), \({}_t p_x\,\mu_{x+t} = f_{T_x}(t)\). UDD-связь: \(\bar{A}^1_{x:\overline{n}|} \approx (i/\delta)\,A^1_{x:\overline{n}|}\); при \(n \to \infty\) получаем \(\bar{A}_x\).