●Клиент 50 лет берёт ипотеку на 10 лет и хочет защитить семью только на этот срок: выплата, если он умрёт за 10 лет, и ничего, если переживёт. Дешевле пожизненной — но насколько? Это срочная страховка \(A^1_{x:\overline{n}|}\).
Та же сумма вкладов по годам, что и в \(A_x\), но обрываем её на сроке \(n\): суммируем только \(k = 0, 1, \dots, n-1\). Смерть после возраста \(x+n\) выплат не даёт — её вклады в сумму не входят. Поэтому срочная всегда дешевле пожизненной.
✍️ Разберём на числах
\(x = 50\), \(n = 10\), \(i = 4\%\). Суммируем вклады \(v^{k+1}\,{}_{k|}q_{50}\) по \(k = 0,\dots,9\): \(A^1_{50:\overline{10}|} \approx 0{,}05146\). Для сравнения пожизненная \(A_{50}\) заметно больше — мы «отрезали» все поздние годы смерти. (Число \(0{,}05146\) проверено python по таблицам ЦБ.)
📐 Формула
\(A^1_{x:\overline{n}|} = \sum_{k=0}^{n-1} v^{k+1}\,{}_{k|}q_x = (M_x - M_{x+n})/D_x\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_{k|}q_x = {}_kp_x\,q_{x+k}\). Связь: \(A_x = A^1_{x:\overline{n}|} + v^n\,{}_np_x\,A_{x+n}\).