Пожизненная рента пренумерандо \(\ddot{a}_x\)
●Пенсионный фонд обещает платить пенсионеру по 1 ₽ в начале каждого года — пока он жив. Год смерти неизвестен: выплат может быть 5, а может 35. Сколько стоит это обещание сегодня? Это и есть \(\ddot{a}_x\) — пожизненная рента пренумерандо.
Каждую будущую выплату ужимаем двумя множителями. Первый — дисконт \(v^k\): рубль через \(k\) лет сегодня стоит меньше. Второй — вероятность дожить \({}_k p_x\): выплата случится, только если человек доживёт до момента \(k\). Перемножаем и складываем по всем годам — получаем справедливую цену потока.
Рисуем: столбики приведённой стоимости каждой выплаты — высота \(v^k\,{}_kp_x\) по горизонтали \(k\). Первый столбик равен ровно 1 (выплата сейчас), дальше монотонный спад с длинным хвостом; площадь всех столбиков и есть \(\ddot{a}_x\). Слайдеры — ставка \(i\) и возраст \(x\): выше ставка или старше возраст — ниже столбики и меньше \(\ddot{a}_x\). Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 65\), \(i = 4\%\) (\(v = 1/1{,}04\)). Выплата в момент 0 точно будет: вклад \(v^0 \cdot {}_0p_{65} = 1\). Через год: \(v^1 \cdot {}_1p_{65} = (1/1{,}04)\cdot(80050/81262) \approx 0{,}947\). Через два года: \(\approx 0{,}896\). Вклады плавно убывают (и дисконт, и дожитие давят вниз). Сумма всех годов до \(\omega = 100\) даёт \(\ddot{a}_{65} = 12{,}28\). (Все числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(\ddot{a}_x = \sum_{k=0}^{\infty} v^k\,{}_k p_x\), где \(v = 1/(1+i)\), \({}_k p_x = l_{x+k}/l_x\) — вероятность дожить \(k\) лет. Выплата в момент 0 присутствует (поэтому «пренумерандо»). Через коммутационные функции \(\ddot{a}_x = N_x/D_x\).