●Смерть может наступить в любой момент — не только в «узлах» целых лет. Как записать цену страховки, которая платит ТОЧНО в миг смерти, честно учитывая каждое мгновение? Сумма по годам превращается в интеграл.
Дробим время на бесконечно малые интервалы \(dt\). В каждом: вероятность дожить до \(t\) и умереть прямо тут — это плотность \({}_t p_x\,\mu_{x+t}\); дисконтируем выплату на \(v^t = e^{-\delta t}\). Складываем (интегрируем) по всем \(t\) от 0 до \(\infty\).
✍️ Разберём на числах
\(x = 60\), \(i = 4\%\), \(\delta = \ln 1{,}04 = 0{,}03922\). Через UDD-связь \(\bar{A}_{60} = (i/\delta)\,A_{60} = (0{,}04/0{,}03922)\cdot 0{,}459 = 1{,}01987 \cdot 0{,}459 \approx 0{,}46812\). Контроль крайним случаем CFM: при постоянной \(\mu\) было бы \(\bar{A}_x = \mu/(\mu+\delta)\). (Число \(0{,}468\) проверено python.)
📐 Формула
\(\bar{A}_x = \int_0^\infty v^t\,{}_t p_x\,\mu_{x+t}\,dt\), где \(v = e^{-\delta}\), \(\delta = \ln(1+i)\), \({}_t p_x\,\mu_{x+t} = f_{T_x}(t)\) — плотность \(T_x\). Связи: UDD \(\bar{A}_x \approx (i/\delta)A_x\); CFM \(\bar{A}_x = \mu/(\mu+\delta)\).