Коэффициент поправки (общий случай)
●Вы хотите узнать, насколько страховщик устойчив к разорению. Единого числа, отражающего эту устойчивость, нет... или есть? Коэффициент поправки \(R\) — это именно то самое «число надёжности».
Уравнение Лундберга \(\lambda M_X(r) = \lambda + c r\) балансирует левая сторона — рост МПФ иска — против правой — линейного роста. Единственный положительный корень \(R\) и есть коэффициент поправки. Чем больше \(R\), тем быстрее убывает вероятность разорения \(\psi(u) \leq e^{-Ru}\) с ростом резерва.
График функций \(y = \lambda M_X(r)\) и \(y = \lambda + c r\); пересечение при \(r > 0\) — это \(R\). Левая кривая выпукла вверх, правая — прямая; точка пересечения хорошо видна.
✍️ Разберём на числах
Пусть \(X \sim \mathrm{Exp}(\alpha = 0{,}01)\), \(\lambda = 5\), \(c = 700\). \(M_X(r) = 0{,}01/(0{,}01 - r)\), \(r < 0{,}01\). Уравнение: \(5 \cdot 0{,}01/(0{,}01 - r) = 5 + 700r\). Для Exp есть явная формула: \(R = \alpha - \lambda/c = 0{,}01 - 5/700 \approx 0{,}002857\). Проверка: \(5 \cdot 0{,}01/(0{,}01 - 0{,}002857) = 5 \cdot 1{,}4 = 7\); правая: \(5 + 700 \cdot 0{,}002857 = 7\). ✓
📐 Формула
\(\lambda M_X(r) = \lambda + c r\) — уравнение Лундберга (Lundberg's equation). \(M_X(r) = E[e^{rX}]\) — moment generating function (МПФ) иска. \(R > 0\) — adjustment coefficient (коэффициент поправки). Для \(X \sim \mathrm{Exp}(\alpha)\): \(R = \alpha - \lambda/c\) (явная формула).