Справочник › Финансовая математика › Частные виды рент 1 › PV ренты пренумерандо

PV ренты пренумерандо

●Та же рента на 5 лет по 1 000 ₽, но теперь каждый платёж — в НАЧАЛЕ года. PV будет больше, чем у постнумерандо. Насколько?

Рента пренумерандо: платёж приходит в НАЧАЛО каждого периода. Первый платёж уже сейчас (\(t=0\)), второй — через год (\(t=1\)), ..., \(n\)-й — через \(n{-}1\) лет. Каждый платёж на один период «ближе» к нам, чем в постнумерандо. Поэтому \(\ddot{a}_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)\) — умножаем на один множитель \((1+i)\).

Две временные диаграммы: сверху — постнумерандо (платежи в конце), снизу — пренумерандо (платежи в начале). Одни и же платежи сдвинуты на один период влево.

✍️ Разберём на числах

\(X = 1000\) ₽, \(n = 5\), \(i = 6\%\).

\[\ddot{a}_{\overline{5}|6\%} = a_{\overline{5}|6\%} \cdot 1{,}06 = 4212{,}36 \cdot 1{,}06 \approx 4465{,}11\ \text{₽}\]

Разница с постнумерандо: \(4465{,}11 - 4212{,}36 = 252{,}75\) ₽ — ровно \(6\%\) от PV.

📐 Формула

\[\ddot{a}_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{d}, \quad d = \frac{i}{1+i}\]

Или эквивалентно: \(\ddot{a}_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)\). \(d\) — ставка дисконта, \(v = 1/(1+i)\). \(PV = X \cdot \ddot{a}_{\overline{n}|i}\).

→Для наращённой стоимости пренумерандо — \(\ddot{s}_{\overline{n}|i}\) — тот же принцип: \(\ddot{s}_{\overline{n}|i} = s_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)\). Следующий атом — именно она.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →