Базовый цепно-лестничный метод (basic chain ladder)
●Страховая компания выплатила по иску 2024 года 180 тыс. руб. — но иск ещё не закрыт. Сколько она заплатит в итоге? Цепная лестница отвечает на этот вопрос, опираясь на историю развития выплат прошлых лет.
Представьте три строки в таблице: каждая строка — один «исходный год» (accident year), каждый столбец — сколько выплат накоплено к концу \(k\)-го года развития. Числа в строке только растут: \(100 \to 150 \to 180\). Отношение соседних столбцов — «фактор развития» — примерно одинаково для разных лет. Вот идея лестницы: берём средний фактор и «достраиваем» таблицу вправо, заполняя пустые клетки нижнего-правого угла.
Треугольник развития: нижний-правый угол закрашен — это спрогнозированные ячейки. Стрелки показывают умножение на \(f_{1\to2} = 1{,}5\) и \(f_{2\to3} = 1{,}2\). Резерв = разность ультимата и последней наблюдённой диагонали.
✍️ Разберём на числах
Взвешенные факторы: \(f_{1\to2} = (150 + 180) / (100 + 120) = 330/220 = 1{,}5\). \(f_{2\to3} = 180 / 150 = 1{,}2\). Проекция 2024: \(C(2024,3) = 180 \cdot 1{,}2 = 216 \to\) резерв 36. Проекция 2025: \(C(2025,2) = 110 \cdot 1{,}5 = 165\); \(C(2025,3) = 165 \cdot 1{,}2 = 198 \to\) резерв 88. Итого: \(36 + 88 = 124\) тыс. руб.
📐 Формула
Взвешенный (volume-weighted) age-to-age фактор:
\(C_{i,j}\) — кумулятивные выплаты исходного года \(i\) на шаге развития \(j\). Ультимат строки: \(\hat C_{i,\text{ult}} = C_{i,\text{last}} \cdot f_{\text{last}} \cdots f_J\). Резерв строки: \(R_i = \hat C_{i,\text{ult}} - C_{i,\text{last}}\).