Справочник › Теория вероятностей › Непрерывные распределения › Бета-распределение \(\mathrm{Beta}(\alpha,\, \beta)\)
Бета-распределение \(\mathrm{Beta}(\alpha,\, \beta)\)
●Доля дефектных изделий — \(\mathrm{Beta}(2,8)\). Ожидаемая доля? \(2/(2+8)=0{,}2=20\%\).
\(\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)\) — «взвешенное среднее» \(\alpha\) успехов и \(\beta\) неудач. Среднее \(= \alpha/(\alpha+\beta)\): доля «успехов» в общей сумме. При \(\alpha=\beta\) — симметрично около 0,5.
Семейство кривых \(\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)\) для разных параметров. При \(\alpha<1\) и \(\beta<1\) — U-образная.
✍️ Разберём на числах
\(\mathrm{Beta}(3,7)\): \(E[X]=3/10=0{,}3\); \(Var[X]=3 \cdot 7/(100 \cdot 11)=21/1100\approx 0{,}0191\).
📐 Формула
\[E[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}, \quad
Var[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}.\]
→Beta — сопряжённое априорное распределение для Binomial/Bernoulli в байесовском анализе.
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →