Распределение Стьюдента \(t(\nu)\)
●\(t(5)\). Дисперсия? \(5/(5-2)=5/3\approx 1{,}67\) — больше 1 (дисперсии \(N(0,1)\))!
\(t(\nu)\) похоже на \(N(0,1)\), но с более тяжёлыми хвостами. Дисперсия \(\nu/(\nu-2) > 1\) отражает этот «избыток» хвостов. При \(\nu=\infty \to N(0,1)\) с \(Var=1\).
Сравнение PDF \(t(\nu)\) и \(N(0,1)\) для \(\nu=3,5,10\). Хвосты \(t(\nu)\) тяжелее.
✍️ Разберём на числах
\(t(4)\): \(Var=4/2=2\). \(t(10)\): \(Var=10/8=1{,}25\). \(t(100)\): \(Var=100/98\approx 1{,}02\).
📐 Формула
\[E[X] = 0, \quad Var[X] = \frac{\nu}{\nu-2} \text{ при } \nu > 2.\]
→\(t(\nu)\) используется вместо \(N(0,1)\) для доверительных интервалов при малой выборке.
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →