Справочник › Теория вероятностей › Дискретные распределения › Биномиальное распределение \(\mathrm{Bin}(n, p)\)
Биномиальное распределение \(\mathrm{Bin}(n, p)\)
●В портфеле 10 клиентов, каждый независимо может подать иск с вероятностью 0,3. Какова вероятность ровно 3 исков? Именно такие вопросы решает биномиальное распределение.
Успех на любых \(k\) испытаниях из \(n\): вероятность конкретного расположения успехов — \(p^k(1-p)^{n-k}\). Таких расположений \(\binom{n}{k}\) штук. Итого: \(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
Гистограмма Bin(10, 0.3). Слайдер позволяет менять \(p\) и \(n\).
✍️ Разберём на числах
\(n=10\), \(k=3\), \(p=0{,}3\). \(P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0{,}3^3 \cdot 0{,}7^7 = 120 \cdot 0{,}027 \cdot 0{,}0824 \approx 0{,}2668\).
\(E[X] = 10 \cdot 0{,}3 = 3{,}0\). \(Var[X] = 10 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7 = 2{,}1\).
📐 Формула
\[P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}, \quad E[X]=np, \quad Var[X]=np(1-p).\]
→При \(n\) большом и \(p\) малом (\(np = \lambda\) фиксировано) Бином хорошо
аппроксимируется Пуассоном с параметром \(\lambda = np\) — следующий атом.
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →