●Откуда вообще берётся прибыль страховщика? Не из одной большой формулы, а из скучной бухгалтерской таблицы: год за годом записываем, сколько денег пришло (премия плюс инвестдоход) и сколько ушло (расходы, выплаты, откладывание в резерв). Эта таблица называется матрицей денежных потоков, и из неё выпадает прибыль каждого года.
Возьмём один полис, который ещё в силе на начало года. В начале года приходит премия \(P\), из неё сразу вычитаем расходы \(e\); остаток \((P-e)\) лежит и год работает под ставку \(i\), превращаясь в \((P-e)(1+i)\). В конце года из этого оплачиваем ожидаемую выплату по смерти \(q\cdot S\) и откладываем прирост резерва \(\Delta V\) для тех, кто дожил. Что осталось — прибыль года \(\text{PRO}_t\). Это просто «приход минус расход» для одного года, выстроенный по времени.
✍️ Разберём на числах
\(\text{PRO}_t = (P-e)(1+i) - q\cdot S - \Delta V\). Пусть премия \(P = 1\,000\) ₽, начальные расходы \(e = 50\) ₽, ставка инвестдохода \(i = 5\%\), ожидаемая выплата \(q\cdot S = 300\) ₽, прирост резерва \(\Delta V = 400\) ₽. Тогда \((1\,000 - 50)\cdot 1{,}05 = 997{,}50\) ₽, минус \(300\), минус \(400\), итого \(\text{PRO}_t = 297{,}50\) ₽ прибыли за год. (Проверено python.)
📐 Формула
\(\text{PRO}_t = (P-e)(1+i) - q\cdot S - \Delta V\), где \(P\) — премия в начале года, \(e\) — расходы, \(i\) — ставка инвестдохода, \(q\cdot S\) — ожидаемая выплата по смерти в конце года, \(\Delta V\) — прирост резерва, который откладывают для доживших. Каждая строка матрицы — баланс одного года; допущения о \(q\) берём из Актуарных иллюстративных таблиц (ЦБ РФ 2016), о ставке \(i\) — из условий полиса.