Chain ladder vs Bornhuetter–Ferguson
●Страхового актуария просят зарезервировать два года: 2021 (зрелый — почти все дела урегулированы) и 2025 (свежий — видно лишь 10% убытков). Какой метод выбрать? Chain ladder — для первого, BF — для второго? Или всегда один и тот же? Давайте разберём, в чём именно отличие.
Chain ladder — «чистый экстраполятор»: он верит только треугольнику. Для зрелого года это хорошо: данных много, шума мало. Для свежего — опасно: один необычный месяц умножается на огромный CDF и даёт дикую оценку. BF — «кредибилити-смесь»: он добавляет внешний якорь (ELR). Для свежего года якорь доминирует, для зрелого — плавно уступает данным (при CDF→1 слагаемое \(U_{\text{prior}}\) × (1−1/CDF)→0, остаётся чистый chain ladder).
Таблица-матрица 2×2: строки — «свежий год» / «зрелый год»; столбцы — «Chain ladder» / «BF». В ячейках: устойчивость, риск, вес данных vs априора. Стрелка показывает «конвергенцию» BF к chain ladder при росте зрелости.
✍️ Разберём на числах
Год 2025: наблюдён первый столбец, CDF = 1,8. Chain ladder: 110 × 1,8 = 198 тыс. — неустойчиво при одной ячейке. BF (\(U_{\text{prior}}\) = 200): 110 + 200 × (1−1/1,8) ≈ 110 + 88,9 = 198,9 тыс. Год 2021: CDF = 1,02 (почти всё оплачено). BF: 170 + 175 × (1−1/1,02) ≈ 170 + 3,4 = 173,4 ≈ chain ladder 173,4 тыс. Вывод: чем зрелее год, тем ближе BF к chain ladder.
📐 Формула
Chain ladder: \(\hat{U}_i^{CL} = C_{i,\text{набл}} \times \text{CDF}_i\) BF: \(\hat{U}_i^{BF} = C_{i,\text{набл}} + U_i^{\text{prior}} \left(1 - \frac{1}{\text{CDF}_i}\right)\) При \(\text{CDF}_i \to 1\): \(\hat{U}_i^{BF} \to C_{i,\text{набл}}\) (= chain ladder). При \(\text{CDF}_i \gg 1\): \(\hat{U}_i^{BF} \approx C_{i,\text{набл}} + U_i^{\text{prior}}\) (доминирует априор).