Справочник › Теория вероятностей › Непрерывные распределения › Хи-квадрат распределение $\chi^2(\nu)$

Хи-квадрат распределение $\chi^2(\nu)$

●Сумма квадратов 5 стандартных нормальных СВ — это $\chi^2(5)$. Каковы E и Var?

Каждый $Z^2_i$: $E[Z^2]=1$, $Var[Z^2]=2$ (из свойств $N(0,1)$). Суммируем $\nu$ независимых: $E[\chi^2]=\nu$, $Var[\chi^2]=2\nu$.

$Семейство кривых $\chi^2(\nu)$ для $\nu=1,2,4,6$. Правосторонний хвост, при $\nu\geq 3$ — мода > 0.$

Семейство кривых $\chi^2(\nu)$ для $\nu=1,2,4,6$. Правосторонний хвост, при $\nu\geq 3$ — мода > 0.

✍️ Разберём на числах

$\chi^2(6)$: $E[X]=6$, $Var[X]=12$, $\sigma=\sqrt{12}\approx 3{,}46$.

📐 Формула

\[E[X] = \nu, \quad Var[X] = 2\nu, \quad \sigma[X] = \sqrt{2\nu}.\]

→$\chi^2(1) = Z^2$ (квадрат стандартного нормального). $\chi^2(\nu)/\nu \to 1$ при $\nu\to\infty$ (ЦПТ).

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Хи-квадрат распределение \(\chi^2(\nu)\)