Справочник › Теория вероятностей › Непрерывные распределения › Логнормальное распределение \(\mathrm{logN}(\mu,\, \sigma^2)\)
Логнормальное распределение \(\mathrm{logN}(\mu,\, \sigma^2)\)
●Ущерб \(X \sim \mathrm{logN}(2, 1)\). Среднее — не \(e^2 \approx 7{,}4\), а \(e^{2+0{,}5}=e^{2{,}5}\approx 12{,}2\). Почему?
\(\mathrm{logN}(\mu,\sigma^2)\): \(\ln(X) \sim N(\mu,\sigma^2)\). Среднее \(X\) — это \(E[e^{\ln X}] = E[e^Y]\), где \(Y \sim N(\mu,\sigma^2)\). Для нормального \(e^Y\): \(E[e^Y]=e^{\mu+\sigma^2/2}\) — поправка на дисперсию \(\sigma^2/2\).
График PDF \(\mathrm{logN}(\mu,\sigma^2)\): правосторонний хвост. Отмечены медиана \(=e^\mu\) и среднее \(=e^{\mu+\sigma^2/2}\).
✍️ Разберём на числах
\(\mathrm{logN}(2, 1)\): \(E[X] = e^{2+0{,}5} = e^{2{,}5} \approx 12{,}18\). Если ошибочно: \(e^\mu = e^2 \approx 7{,}39\) — занижение в 1,65 раза!
📐 Формула
\[E[X] = e^{\mu+\sigma^2/2}, \quad Var[X] = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).\]
→Если \(X \sim \mathrm{logN}(\mu,\sigma^2)\), то медиана \(= e^\mu \leq\) среднее \(= e^{\mu+\sigma^2/2}\).
Распределение правоскошено — хорошая модель убытков.
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →