●Бывают контракты с растущей выплатой: пенсия 1 ₽ в первый год, 2 ₽ во второй, 3 ₽ в третий и так далее (защита от инфляции). Считать такую ренту суммой \(\sum k\,v^k\,{}_kp_x\) утомительно. Но и для неё есть готовая заготовка — нужно лишь просуммировать \(N\) ещё раз. Так рождаются \(S_x\) и \(R_x\).
\(S_x\) — это сумма всех \(N_y\) от возраста \(x\), то есть «сумма сумм» \(D\). Почему двойное суммирование даёт растущие выплаты? Потому что год \(x\) попадает в один \(N\), год \(x+1\) — уже в два, год \(x+2\) — в три: каждый следующий год учитывается всё больше раз. Поэтому возрастающая рента \((I\ddot a)_x = S_x/D_x\). Аналогично для страховок \(R_x = \sum M_y\) и \((IA)_x = R_x/D_x\).
✍️ Разберём на числах
Возьмём \(x = 60\), \(i = 4\%\). Складывая \(N_{60} + N_{61} + \dots + N_{100}\), получаем \(S_{60} = 1\,215\,688\). Делим на \(D_{60} = 8205{,}2\): \((I\ddot a)_{60} = S_{60}/D_{60} = 1\,215\,688/8205{,}2 = 148{,}2\) — приведённая стоимость возрастающей ренты \(1, 2, 3, \dots\) Для страховок аналогично \(R_{60} = 68055\), и \((IA)_{60} = R_{60}/D_{60} = 8{,}29\). (Числа проверены python по Актуарным иллюстративным таблицам ЦБ РФ 2016.)
📐 Формула
\(S_x = \sum_{y=x}^{\omega} N_y\), \(\;R_x = \sum_{y=x}^{\omega} M_y\), где \(N_y = \sum_{z\geq y} D_z\), \(M_y = \sum_{z\geq y} v^{z+1} d_z\). Применение: \((I\ddot a)_x = S_x/D_x\) — возрастающая рента, \((IA)_x = R_x/D_x\) — возрастающая страховка.