Полное ожидание жизни \(\overset{\circ}{e}_x\)
●Мы умеем считать вероятность дожить до любого срока. А одним числом: сколько В СРЕДНЕМ ещё проживёт 50-летний? Это полное ожидание жизни \(\overset{\circ}{e}_x\) — то самое, что в новостях называют «продолжительность жизни».
\(\overset{\circ}{e}_x\) (полное ожидание жизни) — математическое ожидание точного остатка жизни \(T_x\). Геометрически это вся площадь под кривой дожития \({}_t p_x\) от 0 до бесконечности.
Рисуем: горизонталь — \(t\), вертикаль — \({}_t p_x\) от 1 до 0; закрашиваем всю площадь под кривой — это и есть \(\overset{\circ}{e}_x\). Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам (ЦБ РФ 2016) при рождении \(\overset{\circ}{e}_0 = 75{,}6\) года. Для возраста 50: \(\overset{\circ}{e}_{50} = 29{,}3\) года — столько в среднем ещё проживёт 50-летний. Сумма \(50 + 29{,}3 = 79{,}3\) больше \(75{,}6\): кто дожил до 50, в среднем живёт дольше.
📐 Формула
\(\overset{\circ}{e}_x = E[T_x] = \int_0^\infty {}_t p_x\,dt\). По таблицам ЦБ: \(\overset{\circ}{e}_0 = 75{,}6\); \(\overset{\circ}{e}_{50} = 29{,}3\).