Допущение UDD (равномерное распределение смертей в году)
●Таблица даёт \(q_{50}\) — вероятность смерти за ЦЕЛЫЙ год. А чему равна вероятность умереть за первые ПОЛГОДА, \({}_{0{,}5}q_{50}\)? В таблице такой строки нет. Нужно допущение о том, как смерти распределены внутри года. Самое простое — UDD.
UDD (равномерное распределение смертей внутри года): за каждую долю года умирает пропорциональная доля от годовых смертей. Тогда \({}_s q_x\) просто линейно растёт с \(s\).
Рисуем: по горизонтали \(s\) от 0 до 1, по вертикали \({}_s q_x\) — ПРЯМАЯ линия от 0 до \(q_x\); отметить точки \(s = 0{,}25\) и \(s = 0{,}5\). Покрутить: python viz.py --interactive.
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам (ЦБ РФ 2016) \(q_{50} = 0{,}00459\). При UDD вероятность умереть за полгода: \({}_{0{,}5}q_{50} = 0{,}5 \cdot 0{,}00459 = 0{,}002295\). За четверть года: \({}_{0{,}25}q_{50} = 0{,}25 \cdot 0{,}00459 \approx 0{,}001148\). Просто доля от годовой.
📐 Формула
\({}_s q_x = s \cdot q_x\), \(0 \leq s \leq 1\). Эквивалентно линейной интерполяции: \(l_{x+s} = l_x - s \cdot d_x\).