Справочник › Теория риска › Compound-распределения › Compound Negative Binomial

Compound Negative Binomial

●Страховой портфель с «кластерными» исками: одно событие (град, шторм) бьёт сразу по многим полисам. Число исков скачет сильнее, чем у Пуассона, — разброс выше. Это случай передисперсии, и его описывает отрицательное биномиальное распределение.

У отрицательного биномиального \(N\) дисперсия больше среднего: \(\mathrm{Var}[N] > E[N]\). Содержательно это «нестационарный» поток — иски приходят кластерами, а не равномерно. Чем сильнее передисперсия, тем тяжелее правый хвост суммарного иска \(S\): крупные суммарные выплаты случаются чаще, чем предсказал бы Пуассон.

Гистограмма суммарного иска \(S\): по сравнению с Пуассоном с тем же \(E[N]\) хвост вправо заметно тяжелее — следствие передисперсии числа исков.

✍️ Разберём на числах

Дано: \(\mathrm{NegBin}(k=3, p=0.4)\), \(E[X]=5\) тыс. руб., \(E[X^2]=50\). Шаг 1: \(\mathrm{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = 50 - 25 = 25\). Шаг 2: \(E[N] = k(1-p)/p = 3 \cdot 0.6/0.4 = 4.5\); \(\mathrm{Var}[N] = k(1-p)/p^2 = 3 \cdot 0.6/0.16 = 11.25\). Шаг 3: \(\mathrm{Var}[S] = E[N] \cdot \mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[N] \cdot (E[X])^2 = 4.5 \cdot 25 + 11.25 \cdot 25 = 112.5 + 281.25 = 393.75\ (\text{тыс. руб.})^2\). Передисперсия \(\mathrm{Var}[N] = 11.25 > E[N] = 4.5\) заметно раздувает \(\mathrm{Var}[S]\).

📐 Формула

Для отрицательного биномиального \(N \sim \mathrm{NegBin}(k, p)\):

\[E[N] = \frac{k(1-p)}{p}, \qquad \mathrm{Var}[N] = \frac{k(1-p)}{p^2} > E[N]\]

\[\mathrm{Var}[S] = E[N]\cdot\mathrm{Var}[X] + \mathrm{Var}[N]\cdot(E[X])^2\]

Передисперсия: \(\mathrm{Var}[N] > E[N]\) (в отличие от Пуассона, где они равны).

→Все три модели — Пуассон, Биномиал, НегБин — частные случаи одной формулы \(\mathrm{Var}[S]\). Дальше разберём её общий вид через производящие функции.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →