Справочник › Теория риска › Compound-распределения › ПФ и МПФ суммарного иска

ПФ и МПФ суммарного иска

●Как одной формулой описать всё распределение суммарного иска $S$, а не только его среднее и дисперсию? Производящая функция моментов $M_S(t)$ кодирует всю информацию о $S$ — и из неё можно извлечь любой момент.

$S$ — случайная сумма $X_1 + \ldots + X_N$, где $N$ случайно. Трюк: $M_S(t) = G_N(M_X(t))$ — «подставить $M_X$ внутрь $G_N$». Для Poisson: $G_N(z) = \exp(\lambda(z-1))$, поэтому $M_S(t) = \exp(\lambda(M_X(t)-1))$. Продифференцировав $M_S$ в нуле, получим $E[S]$, $E[S^2]$ и т.д.

$График $M_S(t)$ как функции $t$ при $\lambda=2$, $X \sim \mathrm{Exp}(\text{mean}=3)$; показаны наклон ($E[S]$) и кривиз$

График $M_S(t)$ как функции $t$ при $\lambda=2$, $X \sim \mathrm{Exp}(\text{mean}=3)$; показаны наклон ($E[S]$) и кривизна.

✍️ Разберём на числах

$\lambda=2$, $M_X(t)=1.1$ (значение МПФ в точке $t$). $M_S(t) = \exp(2 \cdot (1.1-1)) = \exp(0.2) \approx 1.2214$. Это значение МПФ суммарного иска в точке $t$.

📐 Формула

$M_S(t) = G_N(M_X(t))$ — композиция ПГФ числа исков и МПФ размера. Для compound Poisson: $M_S(t) = \exp(\lambda \cdot (M_X(t) - 1))$. $G_N(z)$ — ПГФ (probability generating function) $N$. $M_X(t)$ — МПФ (moment generating function) $X$.

→Из $M_S(t)$ через логарифм получаем кумулянтную производящую функцию $K_S(t) = \ln M_S(t)$. Её производные дают кумулянты — следующий атом об этом.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →