Сложение независимых compound Poisson
●Страховщик объединяет два портфеля: авто (10 исков/год, средний иск 5 тыс. руб.) и имущество (15 исков/год, средний иск 3 тыс. руб.). Какой средний иск в объединённом портфеле? Это не просто \((5+3)/2=4\)!
Сумма двух независимых compound Poisson — снова compound Poisson: \(\lambda = \lambda_1 + \lambda_2\), а распределение иска — смесь с весами \(\lambda_1/\lambda\) и \(\lambda_2/\lambda\). Объединённый средний иск взвешен по числу исков: тот портфель, где исков больше, «весит» больше.
![Два столбика $\lambda_1 \cdot E[X_1]$ и $\lambda_2 \cdot E[X_2]$, их сумма $= \lambda \cdot E[X]$.](/img/compound-poisson-additivity.png)
Два столбика \(\lambda_1 \cdot E[X_1]\) и \(\lambda_2 \cdot E[X_2]\), их сумма \(= \lambda \cdot E[X]\).
✍️ Разберём на числах
\(\lambda_1=10\) (авто), \(E[X_1]=5\); \(\lambda_2=15\) (имущество), \(E[X_2]=3\). \(\lambda = 10+15 = 25\). \(E[X] = (10 \cdot 5 + 15 \cdot 3)/25 = (50+45)/25 = 95/25 = 3.8\) тыс. руб. Не 4, а 3.8 — потому что имущественных исков больше.
📐 Формула
\(S = S_1 + S_2\), \(S \sim \text{compound Poisson}(\lambda, F_X)\). \(\lambda = \sum \lambda_i\) — суммарная интенсивность. \(F_X(x) = (1/\lambda) \sum \lambda_i F_i(x)\) — смешанное распределение иска. \(E[X] = \sum (\lambda_i/\lambda) \cdot E[X_i]\) — взвешенное среднее.