Кумулянты и асимметрия
●Среднее и дисперсия — это хорошо, но насколько распределение \(S\) скошено вправо? Редкий, но огромный иск гораздо опаснее, чем говорит дисперсия. Коэффициент асимметрии отвечает на этот вопрос.
Кумулянты \(\kappa_j\) — производные \(\ln M(t)\) в нуле. Кумулянт \(\kappa_1=E[X]\), \(\kappa_2=\mathrm{Var}[X]\), \(\kappa_3=E[(X-\mu)^3]\). Для compound Poisson: \(\kappa_j(S) = \lambda \cdot m_j\), где \(m_j\) — \(j\)-й момент иска. Асимметрия \(\text{skew} = \kappa_3/\kappa_2^{3/2}\): чем больше, тем «правее» хвост.
График: как \(\text{skew}(S)\) убывает с ростом \(\lambda\) при фиксированных моментах иска.
✍️ Разберём на числах
\(\lambda=4\), \(E[X^2]=m_2=18\), \(E[X^3]=m_3=120\). \(\kappa_2 = \lambda \cdot m_2 = 4 \cdot 18 = 72\). \(\kappa_3 = \lambda \cdot m_3 = 4 \cdot 120 = 480\). \(\text{skew} = 480/72^{3/2} = 480/610.7 \approx 0.786\). Положительная асимметрия: правый хвост тяжелее левого.
📐 Формула
\(K_S(t) = \ln M_S(t)\) — кумулянтная производящая функция (КПФ). \(\kappa_j = K_S^{(j)}(0)\) — \(j\)-й кумулянт. Для compound Poisson: \(\kappa_j(S) = \lambda \cdot m_j\). \(\text{skew}(S) = \kappa_3/\kappa_2^{3/2} = (\lambda m_3)/(\lambda m_2)^{3/2} = m_3/(\sqrt{\lambda}\, m_2^{3/2})\).