Справочник › Теория риска › Compound-распределения › Обобщённое пуассоновское распределение (compound Poisson)

Обобщённое пуассоновское распределение (compound Poisson)

●Страховая компания получает иски от автовладельцев. За год число исков — случайная величина: в хороший год 5, в плохой — 15, в среднем 10. Каждый иск тоже случаен: кто-то просит 1 тыс. руб., кто-то 8. Как оценить разброс суммарных выплат?

Когда и количество событий, и каждый «вклад» случайны, модель называется compound (составной). Пуассон описывает поток исков, а отдельные распределения — размеры. Для дисперсии суммы работает элегантное правило: нужно знать не \(\mathrm{Var}[X]\) и \(E[X]\) по отдельности, а сразу \(E[X^2]\). Это потому что для Пуассона \(\mathrm{Var}[N] = E[N] = \lambda\) — и два слагаемых сворачиваются в одно: \(\lambda \cdot E[X^2]\).

Гистограмма 20 000 симуляций \(S\). Красная вертикаль — \(E[S] = 30\). Видно, что распределение правосторонне скошено: большинство сценариев дают меньше среднего, но хвост уходит далеко вправо.

✍️ Разберём на числах

\(\lambda = 10\) исков в год. Размер иска \(X\): \(E[X] = 3\) тыс. руб., \(E[X^2] = 18\). Шаг 1. Ожидаемые выплаты: \(E[S] = 10 \cdot 3 = 30\) тыс. руб. Шаг 2. Дисперсия: \(\mathrm{Var}[S] = \lambda \cdot E[X^2] = 10 \cdot 18 = 180\ (\text{тыс. руб.})^2\). Шаг 3. Стандартное отклонение: \(\sqrt{180} \approx 13.4\) тыс. руб. То есть «нормальный» разброс вокруг ожидаемых 30 тыс. руб. — порядка 13 тыс.

📐 Формула

\[S = X_1 + X_2 + \dots + X_N\]

\[E[S] = \lambda \cdot E[X]\]

\[\mathrm{Var}[S] = \lambda \cdot E[X^2]\]

Обозначения: - \(N\) — число исков, \(N \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)\) - \(X_i\) — размер \(i\)-го иска, i.i.d. - \(\lambda = E[N] = \mathrm{Var}[N]\) — интенсивность Пуассона - \(E[X^2]\) — второй момент размера иска (не \(\mathrm{Var}[X]\)!)

→Мы научились считать моменты compound Poisson распределения по двум числам — \(\lambda\) и \(E[X^2]\). Следующий шаг: что если размеры исков сами подчиняются гамма- или логнормальному распределению? Тогда \(E[X^2]\) выражается через параметры этих распределений — об этом в следующем атоме.

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →