Справочник › Теория вероятностей › Зависимость: условное матожидание, ковариация, корреляция › Условное математическое ожидание \(E[Y \mid X = x]\) (в русских источниках — \(M[Y \mid X = x]\))

Условное математическое ожидание \(E[Y \mid X = x]\) (в русских источниках — \(M[Y \mid X = x]\))

●Представьте: у пациента измерен уровень сахара X. Нас интересует средний балл его артериального давления Y именно для этого уровня X=1. Это не общее среднее по всем пациентам, а только «внутри» группы X=1.

Условное матожидание E[Y|X=x] — «горизонтальный срез» совместной таблицы. Берём только строку X=x, нормируем вероятности (делим на сумму строки), и вычисляем среднее Y только в этой строке.

Тепловая карта совместной таблицы: подсвечена строка X=1. Стрелки показывают нормировку и взвешенное суммирование.

✍️ Разберём на числах

Строка X=1: P(X=1,Y=y1)=0.20; P(X=1,Y=y2)=0.20; P(X=1,Y=y3)=0.10. P(X=1) = 0.20+0.20+0.10 = 0.50. Условные: P(Y=y1|X=1) = 0.20/0.50 = 0.40; P(Y=y2|X=1) = 0.40; P(Y=y3|X=1) = 0.20. E[Y|X=1] = y1·0.40 + y2·0.40 + y3·0.20.

📐 Формула

\[E[Y \mid X=x] = \sum_y y \cdot \frac{P(X=x, Y=y)}{P(X=x)}.\]

→Если взять E над всеми x: E[E[Y|X]] = E[Y] — это закон полного матожидания (атом total-expectation-law).

Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.

Решить в боте →