Справочник › Теория вероятностей › Зависимость: условное матожидание, ковариация, корреляция › Коэффициент корреляции \(\rho(X, Y)\) (англ. \(\mathrm{corr}(X, Y)\))
Коэффициент корреляции \(\rho(X, Y)\) (англ. \(\mathrm{corr}(X, Y)\))
●Ковариация \(= 15\), у другой пары \(= 3\). Какая «сильнее связана»? Без знания масштабов X и Y нельзя ответить. Корреляция решает эту проблему: нормирует ковариацию на стандартные отклонения.
\(\rho = \mathrm{Cov}/(\sigma_X \cdot \sigma_Y)\): «ковариация в единицах стандартных отклонений». \(\rho=+1\): прямая линейная зависимость. \(\rho=-1\): обратная. \(\rho=0\): нет линейной связи. Всегда в \([-1,\ 1]\) — удобно сравнивать пары переменных.
Диаграмма рассеяния с \(\rho \in (-1,1)\): разные степени наклона облака точек.
✍️ Разберём на числах
- \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) из задачи.
- \(Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2\), берём корень.
- Аналогично \(\sigma_Y\).
- \(\rho = \mathrm{Cov} / (\sigma_X \cdot \sigma_Y)\).
📐 Формула
\[\rho(X,Y) = \frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y} \in [-1,\,1].\]
→Выборочный аналог — коэффициент корреляции Пирсона (статистика; атом в Главе 5).
Проверь, усвоил ли. Реши задачу с разбором ошибки.
Решить в боте →