●Полное ожидание \(\overset{\circ}{e}_{50} = 29{,}3\) года считает дробные годы. Но дискретная страховка платит в конце года смерти — ей важны только ЦЕЛЫЕ прожитые годы. Сколько их в среднем? Это усечённое ожидание жизни \(e_x\).
\(e_x\) — математическое ожидание \(K_x\) (числа полных прожитых лет). Считается простой суммой вероятностей дожития \({}_k p_x\) по всем будущим годам, без интеграла.
✍️ Разберём на числах
По Актуарным иллюстративным таблицам (ЦБ РФ 2016) для возраста 50: \(e_{50} = \sum_{k \geq 1} {}_k p_{50} \approx 28{,}79\) года. Сравним с полным \(\overset{\circ}{e}_{50} = 29{,}3\): разница \(29{,}3 - 28{,}79 \approx 0{,}5\) — ровно поправка из связи \(\overset{\circ}{e}_x \approx e_x + 0{,}5\) при UDD.
📐 Формула
\(e_x = E[K_x] = \sum_{k=1}^\infty {}_k p_x = \frac{1}{l_x} \sum l_{x+k}\); суммируем до \(\omega - x - 1\) (\(\omega = 100\)). Связь с полным: \(\overset{\circ}{e}_x \approx e_x + 0{,}5\) (при UDD).